Hallo Sille,
spannende Frage, die wohl nie so ganz geklärt werden wird. Ich müsste das nochmal nachschlagen (und könnte Dir morgen oder übermorgen antworten), aber es gibt Dokumente, die für 1797, und welche die für 1799 sprechen, und dann sowohl für den 13. oder den 31. Dezember. Nicht klar ist, ob sich da irgendwo Verschreiber oder bewusste Manipulationen eingeschlichen haben. Die Militär-These halte ich für problematisch, da es eine regelrechte Wehrpflicht ja nicht gab und auch ein im Dezember 1797 geborener Heine für den einzig in Frage kommenden Krieg, den gegen Napoleon 1813/14 und nochmal 1815, wohl auf jeden Fall zu jung gewesen wäre. Ich halte es für wahrscheinlicher, dass - wenn es überhaupt absichtliche Täuschungen sind - Heine seine Biographie ein bißchen glätten und die verunglückte Kaufmannszeit in den Hintergrund drängen wollte.
Irgendwo in den "Reisebildern" behauptet er auch, er sei in der Silvesternacht 1799 geboren - aber da geht es wohl nur um die Pointe, behaupten zu können, er sei auf diese Weise "einer der ersten Männer des Jahrhunderts".
So viel aus dem Kopf bzw. Bauch. Wenn Du's genauer brauchst, muss ich mal in ein paar Bücher schauen - oder guck mal selbst z.B. in die Heine-Biographie von Werner und Hauschild!

Viele Grüße
Robert